[이득우 게임수학] 삼각함수

4.1 삼각함수

$\theta$ : 한 각이 직각인 삼각형에서 밑변과 빗변의 사이각

삼각비 : 직각삼각형을 구성하는 세 변에서 두 변을 뽑아 각각의 비례관계를 나타낸것

사인 Sine	$sin (\theta)$ = $a \over c$
코사인 Cosine	$cos (\theta)$ = $b \over c$
탄젠트 Tangent	$tan (\theta)$ = $a \over b$

 

 

단위 원 (지름 1) 에서의 삼각비를 계산했을때 빗변이 가르키 원의 좌표는 ($cos \theta$,$sin \theta$) 가 됨

  $sin \theta ={ b \over 1} =b$  
 $cos \theta ={ a \over 1} =a$

지름이 r 이라고 했을때  $r\cdot$( $cos \theta$ , $sin \theta$ )

이를 피타고라스 정리에 대입하면 아래와 같은 결과를 얻을 수 있따.  

$r^2 (cos^2\theta + sin^2\theta) = r^2$  
$cos^2\theta + sin^2\theta = 1$

 

4.1.1 삼각함수의 성질

Sin , Cos 함수

데카르트 좌표계에서 각도 $\theta$ 는 x 축에서 원의 궤적을 따라 반시계 방향으로 회전한 크기를 의미한다.
각도 0에 대한 sin 함수와 cos 함수의 값은 다음과 같다.

$(cos 0 ^\circ , sin 0 ^\circ) = (1,0)$

각도에 따른 x 값과 y 값의 변화는 -1,1 범위 내에서 $360 ^\circ$ 마다 반복되는데 아래와 같은 패턴을 볼 수 있다.
변화 값의 범위를 진폭, 반복되는 각도를 주기 라고 한다.

https://www.geogebra.org/m/d6hGsXdT , https://www.geogebra.org/m/YEnGXvQu

cos 함수 그래프

sin 함수 그래프

sin 함수와 cos 함수는 한상 -1 에서 1 사이를 일정하게 반복하는 패턴을 띄며 $360 ^\circ$ 주기로 반복되는것을 알수 있다.

cos 함수의 그래프는 좌우대칭 → 짝함수 또는 우함수 → $cos(-\theta) = cos(\theta)$

sin 함수의 그래프 원점 대칭 → 홀함수 또는 기함수 → $sin(-\theta) = -sin(\theta)$

Tan 함수

탄젠트 함수는 빗변과 무관하며 밑변과 높이의 관계를 나타낸다.

tan $\theta$ =$a \over b$ = $\frac{sin\theta}{cos\theta}$

분모의 값이 0이 될수 없기때문에 분모의 값이 0 이되는 $90^\circ$, $270^\circ$ 구간에서의 tan 값은 존재하지 않음.

그래프가 원점 대칭이기때문에 홀함수의 성질을 지녔다.

https://www.geogebra.org/m/f72Ddztf

4.1.2 각의 측정법 : 호도법

각도법(Degree) : 약수가 많은 360을 활용하여 각(Angle)의 크기를 재는 방법. (수가 너무큼)

https://www.geogebra.org/m/ogWWipVl

호도법(Radian) : 호의 길이를 기준으로 각을 측정하는 방법

호의 길이와 반지름의 길이가 같은 부채꼴의 중심각

$180^\circ$ 도에 해당하는 반원의 호의 길이는 3.14.. 원주율인 파이($\pi$) 이다.

호의 길이가 반지름인 부채꼴의 각을 1라디안 이라고 하며 각도로 환산하면 $57.2958..^\circ$ 이 된다.

$180^\circ$ 도에 해당하는 반원의 각을 라디안으로 표현하면 ?

$\pi$ = 반원의 호 이기 떄문에 각은 라디안을 기준으로 $\pi$배만큼 크다.

$\pi(rad)= 180^\circ$

$1^\circ = {\pi \over 180} (rad)$

$1(rad) = {(180\over \pi)}^\circ$

4.1.3 삼각함수로 하트 그리기

$ x = 16sin^3\theta$

$y=13cos(\theta)-5cos(2\theta )-2cos(3\theta )-cos(4\theta)$

삼각함수로 하트 그리기

4.2 물체 회전

기저벡터를 활용해보자

표준 기저벡터 (1,0) $e_1'$ 를 $\theta$만큼 회전한 좌표는 $e_1' = (cos\theta,sin\theta)$ 가 된다.

표준 기저벡터 (0,1) $e_2'$ 를 $\theta$만큼 회전한 좌표는 $e_2' = (-sin\theta,sin\theta)$ 가 된다.

y값만큼의 음의x 값, x값만큼 양의 y값을 가짐.

실 벡터공간의 벡터가 각 $\theta$만큼 회전한것을 선형결합으로 표시하면 $\vec v =1\cdot e_1+1\cdot e_2$ 이다.

이를 치환하면 $\vec v =1\cdot ( cos \theta - sin \theta )+1\cdot ( sin \theta + cos \theta )$

좌표(1,1)이 $\theta$ 만큼 회전한 벡터 $\vec{v}$ 의 좌표는 아래와 같다.

$\vec v = (cos \theta - sin \theta , sin \theta + cos \theta)$

 

$x' = x cos \theta - y sin \theta $

$y'= x sin \theta + y cos \theta)$

 

하트 회전하기

θ = π/4
c = Curve( (16sin(t)^3 * cos(θ) - (13cos(t) - 5cos(2t) - 2cos(3t) - cos(4t)) * sin(θ)), (16sin(t)^3 * sin(θ) + (13cos(t) - 5cos(2t) - 2cos(3t) - cos(4t)) * cos(θ)), t, 0, 2pi )
p = Sequence((16sin(t)^3, 13cos(t) - 5cos(2t) - 2cos(3t) - cos(4t)), t, 0, 2pi, dt)
Polygon(p)

https://ko.khanacademy.org/computing/pixar/sets/rotation/v/sets-9

 

4.3 삼각함수의 역함수

주어진 벡터의 좌표로 부터 이에 대응하는 각도를 구하기 위해서는 삼각함수의 역함수의 성질을 알아야한다.

역함수를 만들기위해서는 정의역과 공역의 범위를 한정시켜 역함수가 존재할수 있는 전단사함수로 만들어야된다.

공역과 정의역 범위를 좁혀 전단사 함수로 만듬

sin 함수는 정의역의 범위를 -90$^\circ$, 90 $^\circ$ 구간으로  한정하고 공역의 범위를 -1, 1 로  만든다면  sin x 값이 주어졌을때 역함수 가 존재하게 되는데, 이렇게 범위를 제한시켜 얻은 sin 함수의 역함수를 arcsin 함수라고 부른다.

arcsin 함수의 그래프

$f^-1= sin^-1(x)=arcsin(x)$

 

cos의 역함수는 정의역 $0^\circ$, $180^\circ$ 공역-1,1 로 제한을 하여 역삼수를 만들 수 있으며  이를 arccos 함수 라고한다.

tan 함수는  $-90^\circ$, $90^\circ$일때의 y값이 존재하지 않으므로 전단사함수가 되기위해 정의역 구간을 $-90^\circ$, $90^\circ$을 제외한 ( $-90^\circ$, $90^\circ$ ) 범위가 되어야한다.

이를 arctan 함수는 벡터의 각도를 구하는데 유용하게 사용된다.

임의의 벡터 (x,y)를 분수식$y\over x$ 을 계산하면 벡터로 두어 tan 함수 값을 얻을 수 있는데 이 값을 arctan 에 넣으면 해당벡터가 x 축과 이루는 사잇각을 얻을 수 있다.

arctan

그러나 3 사분면에서는 x,y 값이 둘다 음수가 되어 $x\over y$ 분수 값이 양수가 되기 때문에 1사분면에 해당하는 각의 정보가 나와버린다. x와 y값을 따로 전달하여 모든 사분면에 대응하는 값을 얻는 함수가 있는데 이를 atan2 함수라고 부른다.

atan2

atan2 함수의 그래프는 공역이 ($-180 ^\circ$ ,$180 ^\circ$ ) 범위를 가진다.

 

4.4 극좌표계

데카르트 좌표계로 회전을 구현할때는 x와y의 변화를 매번 계산해야 해서 번거로운 반면 극좌표계는 회전 동작을 기반을 설계된 좌표계기 때문에 회전을 구현하기 편리하다.

극좌표계는 원점으로 부터의거리 $r$ 와 각도  $theta$ 로 구성된다.

 

 벡터를 극좌표계 $(r,\theta)$ 로 변환하기

$r= \sqrt{x^2+y^2}$

$\theta =atan2(y)x$

극좌표계 $(r,\theta)$를 데카르트 좌표계$(x,y)$로 변환하기

$x = r\cdot cos\theta$

$y = r\cdot sin\theta$