[이득우 게임수학] 선형성과 선형변환

행렬은 선형 변환을 나타내는 매우 강력한 도구이다.

선형 변환을 행렬로 나타내고, 그 행렬을 사용하여 벡터에 대한 변환을 할수 있다.

그럼 선형성이 뭐냐

선형성은 스칼라 곱셈과 같이 직선의 형태를 띄는것을 의미하는데, 직선 형태의 함수라고 전부 선형성을 띈다고는 할수 없고 아래 두 조건을 만족해야한다.

가법성 ( additivity )	1차 동차성 ( homogeneity of degree 1 )
덧셈에 대한 선형성 두 입력 값의 합에 대해 함수의 값이 각각의 입력 값에 대한 함수의 값의 합과 같아야 한다는 성질	스칼라 곱에 대한 선형성 입력 변수를 n배 증가시켰을 때 결과 n배 만큼 증가하는 성질
$(x_1+x_2)=f(x_1)+ f(x_2)$	$f(kx)=kf(x)$

다시말해, 선형성은 두 집합의 순수한 비 $^{1)}$ 로 구성된 1차적 대응 관계 $^{2)}$ 를 의미한다.

$^{1)}$ 순수한 비 : 하나의 벡터 공간에서 다른 벡터 공간으로의 변환이 일정한 비율(스칼라)로 일어남

$^{2)}$ 1차적 대응 관계 : 선형 변환이 1차 함수(즉, 일차원적 관계)에 해당함을 의미한다.

선형성은 순수한 비로 구성되어 있어 어떤 출력값이 나올지 쉽게 예상이 가능하며

역함수를 사용하여 출력값으로 부터 입력값을 거꾸로 계산하는것이 가능하다.

아래의 각 수식에 함수를 대입하여 선형성을 만족하는지 확인해보자

	가법성			1차 동차성
$f(x)=ax$	$a( x_1+x_2)= ax_1+ax_2$			$ a(kx) $	=	$ ax_1+ax_2$
	분배법칙에 의해 $f(x)=ax$ 함수는 가법성을 만족			곱셈 결합법칙과 교환법칙에 의해 만족
$f(x)=x^2$	$(x_1+x_2)^2$ ↓ $x_1^2+x_2^2+2x_1x_2$	$\neq $	$x_1^2+x_2^2$
	좌변 우변 결과가 다르므로 선형성을 만족하는 함수가 아님
$f(x)=ax+b$	$a( x_1+x_2)+b$	$\neq $	$ ax_1+ax_2b$
	b 만큼 차이가 나서 직선의 형태임에도 불구하고 선형성을 만족하지 않음

표준 기저벡터 공간의 선형 결합으로 형성된 벡터공간은 선형성을 지니는데,

이 백터 공간을 선형 함수로 변화시킨 새로운 공간도 기저벡터의 선형 결합으로 형성되기 때문에 선형성을 지닌다.

두 벡터 공간이 동일한 구조를 지닐때 두공간의 대응 관계를 변환 (Transformation)이라고 부르며

선형성을 유지시키는 힘수 $ f(\vec v) = f(x,y)=(ax+by,cx+dy) $를 선형변환 (Linear Transformation)이라고 한다

함수 $ f(\vec v) = f(x,y)=(ax+by,cx+dy) $가 가법성과 1차 동차성을 만족하는지 확인해보자

가법성

$f((x_1,y_1)+(x_2,y_2))$	=	$f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)$
$(a(x1+x2)+b(y1+y2),c(x1+x2)+d(y1+y2))$	=	$(ax1+by1,cx1+dy1)+(ax2+by2,cx2+dy2)$ $(ax1+ax2+by1+by2,cx1+cx2+dy1+dy2)$

1차동차성

계산 결과 함수 $ f(\vec v) = f(x,y)=(ax+by,cx+dy) $는 가법성과 1차동차성을 만족시키는 선형함수이며 이를 선형변환이라고 한다.

벡터공간에서의 크기변환, 회전변환은 모두 선형변환이며 다음과 같이 함수로 표현이 가능하다.

크기 변환	회전 변환
$f(\vec{v}) = f(x,y)= (kx,ky)$	$ f(\vec{v}) = f(x,y)= (cos\theta x-sin\theta y,sin\theta x+cos\theta y)$
$(ax+by,cx+dy) $ 에 $a=k,b=0,c =0,d=k $ 를 대입한 결과와 동일하다.	$(ax+by,cx+dy) $ 에 $a=cos\theta,b=-sin \theta,c =sin \theta,d=cos \theta $ 를 대입한 결과와 동일하다.

선형변환의 원리는 벡터공간에서 모든 변환의 기본 바탕이 된다.

선형변환의 계산과정을 체계화 하여 손쉽게 계산 할 수 있도록 한것이 바로 행렬이다.