[이득우 게임수학] 행렬

https://ko.khanacademy.org/math/precalculus/x9e81a4f98389efdf:matrices/x9e81a4f98389efdf:multiplying-matrices-by-matrices/v/matrix-multiplication-intro

5.2 행렬

행렬은 수를 사각형의 형태로 행과 열을 맞춰 배열한 테이블이다.

2 x 3 행렬은 다음과 같이 2행 3열의 형태이다.

$$\begin{bmatrix}    a & b & c  \\   d & e & f  \end{bmatrix}$$

행렬에서 2차원 백터는 열백터와 행벡터로 표현된다.

열벡터	행벡터
$$ A = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} $$	$$B= \begin{bmatrix} x \\ y  \end{bmatrix} $$

 

정방행렬은 행과 열이 크기가 같은 행렬이다.

선형 변환은 정방행렬을 사용한다. 선형함수 𝑓(𝑥,𝑦)=(𝑎𝑥+𝑏𝑦,𝑐𝑥+𝑑𝑦) 에 대응하는 행렬은 다음과 같다.

 

선형함수 𝑓(𝑥,𝑦)=(𝑎𝑥+𝑏𝑦,𝑐𝑥+𝑑𝑦) 에 대응하는 행렬	A 를 행벡터와 열벡터로 분석
$$A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} $$	첫번째 행벡터 $A_{row1}$ 은 (a,b) 두번째 행벡터 $A_{row2}$ 은 (c,d) 첫번째 열벡터 $A_{col1}$ 은 (a,c) 두번째 열벡터 $A_{col2}$ 은 (b,d)

 

행렬과 행렬의 덧셈

행렬의 크기가 같은 경우에만 성립된다.

같은 위치의 원소끼리 더한다.

$$ A + B = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} \  = \begin{bmatrix}a + e & b + f \\c + g & d + h\end{bmatrix}$$

 

행렬과 스칼라 곱셈

행렬의 모든 원소에 스칼라를 곱한다.

$$ k \cdot A = k \cdot \begin{bmatrix} a & b \\c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {k \cdot a} &  {k \cdot b} \\  {k \cdot c} &  {k \cdot d} \end{bmatrix} $$

 

행렬의 전치 (Transpose of a matrix)

첨자 T 로 표시한다.

행과 열을 바꾸는 작업

$${\begin{bmatrix}a & d \\b & e \\ c &f \end{bmatrix}}^T= \begin{bmatrix}a &b&c\\d&e&f\end{bmatrix} $$ 

정방행렬의 전치 연산은 대각 정보는 그대로 유지되고 나머지 원소가 대각 성분을 중심으로 대칭된 행렬을 만듬

$${\begin{bmatrix}a & c \\b & d \end{bmatrix}}^T= \begin{bmatrix}a &b\\c&d\end{bmatrix} $$ 

 

행렬과 행렬의 곱셈

행렬의 곱셈은 앞에 위치한 행렬의 행벡터아 뒤에 위치한 행렬의 열벡터를 각각 곱하는 방식으로 진행된다.

행렬 곱셈의 성질
교환법칙이 성립하지 않는다	$A\cdot B \neq B \cdot A$
결합법칙을 만족한다	$(A\cdot B)\cdot C = A \cdot{B \cdot C}$
분배법칙을 만족한다	$A(B+C)=AB+AC$ $(B+C)A=BA+CA$
전치한 결과는 순서를 바꾼 후 각각 전치한 곱과 결과가 동일하다	$(A\cdot B)^T= B^T \cdot A^T$
0의 곱셈성질	$0\cdot A=0$ , $A\cdot 0=0$
차원의 성질	첫 번째 행렬의 열의 개수가 두 번째 행렬의 행의 개수와 동일해야 한다. $m \cdot n $ 행렬과 $ n \cdot k $ 행렬의 곱은 $m\cdot k$ 행렬이다.

 

2차원 벡터의 선형변환 행렬

a b c d  네개로 구성된 2x2 정방행렬과 2차원 벡터(x,y)를 열벡터로 설정한 두 행렬의 곱은 선형변환 $f(x,y)=(ax+by,cx+dy)$와 동일하다

a b c d  네개로 구성된 2x2 정방행렬은 2차원 공간의 선형변환에 대응되는 함수를 의미한다.

벡터에 선형 변환을 적용하기 위한 연산 순서는 오른쪽에서 왼쪽 방향으로 이뤄짐을 알 수 있다.

 

벡터$\vec v$ 에 선형 변환을 나타내는 정방행렬 A,B 를 순서대로 연산하여 벡터 $\vec v$ 가 $\vec w$로 변환되는 과정은 다음 행렬곱으로 표현 할 수 있다.

$B \cdot A \cdot \vec v $

 

$$\vec w = \begin{bmatrix}e & f \\g & h\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a & b \\c & d\end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix}
x\\y \end{bmatrix}$$

 

$$\vec w = B\cdot (A\cdot \vec v)= (B\cdot A)\cdot \vec v$$

* 행렬곱 결합법칙 

행렬곱은 결합법칙을 만족하는데 이는 그래픽 연산에서 계산량을 크게 줄이는 역할을 하여 유용하게 활용된다.

 

점이 100개인 물체가 렌더링되기까지 5번의 선형변환이 발생한다고 했을때 행렬곱을 이용한다면 결합법칙으로 인해 계산량을 줄일 수 있다.

 

* 열기준 행렬, 행기준 행렬

 

수학에서 행렬을 다룰때는 벡터를 열벡터로 나태내는 열 기준 행렬 방식을 주로 사용하지만 컴퓨터에서는 행기준 행렬을 사용하는 경우가 있다.

이때는 벡터의 위치를 거꾸로 뒤집어 계산해야 행렬의 곱셈이 성립된다.

열기준 행렬	행기준 행렬
$$\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax + by \\ cx + dy \end{bmatrix}$$	$$\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a & c \\b & d \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} ax + by & cx + dy \end{bmatrix}$$
OpenGL , Unity C#	DirectX ,  Unreal C++

 

열벡터와 행벡터는 서로 전치관계에 있기때문에 선형 변환 역시 전치 관계의 차이만 있다.

$$(A\cdot \vec v)^T =\vec v^T \cdot A^T$$

$$(\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix})^T = \begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix}^T \cdot \begin{bmatrix} a & c \\b & d \end{bmatrix}^T $$