[이득우 게임수학] 수

수체계 이해를 위해서 수의 구조와 함수를 알아보기

1. 수와 집합

: 공리적집합론 (연산에 대한 공리를 기반으로 한 집합론) 개념으로 수의 구조를 알아보자-

1.1 사칙연산 (이항연산)의 성질

• 닫혀있음
  : 같은집합에 속한 두 수를 투입한 이항연산의 결과가 항상 투입집단에 속하면 닫혀있다고함

• 교환법칙
  : 연산순서 관계없이 항상 동일한 결과가 나옴
  a + b = b + a
a * b = b * a

• 결합법칙
  :연산두번이상 연속될때 순서와 상관없이 같음
  (a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = (a * b) * c

• 분배법칙
  : 서로 다른 연산에대해 분배 값 만족 (좌분배 우분배)
  a * (b + c) = a * b + a * c
(b + c) * a = b * a + c * a

• 항등원, 역원

  • 항등원 : 연산결과를 동일한 수로 만들어주는 수
    a + 0 = a -> 덧셈 항등원 0
    a * 1 = a -> 곱셈 항등원 1

  • 역원 : 연산결과를 항등원으로 만들어주는 수
    a + (-a) = 0 -> 덧셈 역원 -a 반대수
    a * (1/a) = 1 -> 곱셈 역원 분모가 주어진 수 역수

1.2 체의 구조

: 11가지 공리를 모두 만족하는 집합을 체의 구조를 지닌다고 함

1.  연산에 대해 닫혀있다.
2.  연산에 대해 결합 법칙이 성립한다.
3.  연산에 대한 항등원이 존재한다.
4.  연산에 대한 역원이 존재한다.
5.  연산에 대해 교환 법칙이 성립한다.
6.  두 번째 연산에 대해 닫혀 있다.
7.  두 번째 연산에 대해 결합 법칙이 성립한다.
8.  첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배 법칙이 성립한다.
9.  두 번째 연산에 대해 교환 법칙이 성립한다.
10. 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
11. 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다. (0은 제외)

이 성질들을 바탕으로 수집합 구조 분석해보자

• 정수는 1-10 은 만족이 되지만 곱셈의 역원이 정수가 아니기 떄문에(1/a) 11 번에서 탈락
• 유리수 , 실수 체의 구조 만족 한함

그럼 뺄셈과 나눗셈은 ? 이런식으로 덧셈과 곱셈의 역원을 사용하면 같은 결과가 나옴
a - b != b - a => a +(-b) = (-b) + a
a / b != b / a => a * (1/b) = (1/b) * a

2. 함수

: 첫 번쨰 집합의 모든 원소가 빠짐없이 두 번째 집합의 어떤 원소에 대응 하는 관계

1. 첫번째 집합의 모든 원소에 대한 대응 관계가 존재해야함
2. 첫 번쨰 집합의 원소가 두번째 집합의 한 원소에만 대응

정의역 공역 치역

2.1 함수의 종류

전사함수 , 단사함수, 전단사함수

• 전사함수 : 공역 요소의 모든 요소가 정의역에 대응 (공역 = 치역) $(f \circ g)(x)$
• 단사함수 : 정의역, 공역의 요소가 일대일 대응
• 전단사함수 : 정의역과 공역 요소가 모두 일대일 대응 (전사함수+단사함수조건 모두 만족)

2.2 합성함수

: 2개의 함수를 연쇄적으로 이어서 하나의 함수로 만드는 연산

$(f\circ g)(x)$

• 먼저 실행하는 함수가 기호 오른쪽에 놓임
• g 써클 f 또는 g 애프터 f
• 4개의 집합과 3개의 함수로 구성되었을경우 동일한 대응 관계를 가지므로 결합법칙이 성립함
  $$ (h\circ(g\circ f))(w) =((h\circ g)\circ f)(w)$$

2.3 항등함수와 역함수

• 항등함수 :
  • 정의역과 공역이 동일한 값으로 대응되는 함수
  • 항등함수는 어느위치에 있든지 합성의 결과가 원삼수와 동일한 대응관계를 나타냄
    

    

• 역함수 :
  • 합성 결과가 항등함수가 되는 함수
  • 어떤 함수와 역함수를 합성한 결과는 언제나 항등함수가 됨
  • 역함수 조건을 만족하기 위해서는 반드시 원소가 모두 대응되는 전단사함수의 형태가 되어야함

$f \circ f^{-1} =id$ 또는 $f^{-1} \circ f =id$

2.4 곱집합

두 집합의 원소를 순서쌍으로 묶은 원소의 집합
두 실수 집합의 곱집합에 다시 실수집합을 곱집합으로 하면 3차원 공간이됨